navbar.frm 20180310
ATTENTIE. . VAKANTIE ONDERHOUD . . Bijeenkomst op 18 oktober 2018 . . Elke zondag 145.475 MHz . . 10:30 RTTY bulletin . . 11:00 uur Woerdense Ronde .
W

Merkwaardige getallen in de radiotechniek

Samenvatting

Voor het succesvol afleggen van het examen ter verkrijging van onze zendvergunning zijn slechts geringe vaardigheden in de wiskunde vereist. We gebruiken bij het berekenen van onze schakelingen soms merkwaardige getallen.

Waar komen die eigenlijk vandaan?

Natuurlijke getallen

Tellen kunnen we allemaal, we gebruiken dan de zogenaamde 'natuurlijke getallen'. Die getallenreeks loopt van 0 tot oneindig. (Sommige mensen echter schijnen echter soms niet tot tien te kunnen tellen.) Als een schakeling N weerstanden nodig heeft, dan is N altijd een geheel getal.

Negatieve getallen

Als we maar N-1 weerstanden in ons bakje vinden bedoelen we dat we er dus 1 te kort komen. Het getal 'min een' noemen we een 'negatief getal'. De gehele verzameling van natuurlijke en negatieven getallen noemen we de verzameling 'gehele getallen'.

Priemgetallen

'Priemgetallen' zijn natuurlijke getallen die alleen door 'een' of door zich zelf deelbaar zijn en dan als antwoord weer een natuurlijk getal opleveren. Bekende getallen voor ons zijn 7, 61, 127, 257. Deze getallen worden vaak gebruikt in digitale schakelingen om willekeurige golfvormen op te wekken bij modulatievormen voor spread spectrum communicatie en voor versleuteling van informatie.

Binaire getallen

De 'binaire getallen' 'nul' en 'een' zijn bekende grootheden bij de digitale signaalverwerking.

Rationele en irrationele getallen

We spreken van 'rationele getallen' als we te maken hebben met breuken. Met twee gelijke weerstanden kunnen we een spanning halveren. Een rationeel getal is altijd op te schrijven als een breuk van twee gehele getallen. Rationele getallen worden vaak uitgedrukt in het decimale stelsel, zij kunnen dan soms een oneidig aantal cijfers achter de komma bevatten.

Er zijn echter getallen die niet te schrijven zijn als breuk van gehele getallen. Die getallen noemen we 'irrationale getallen'. Voorbeelden zijn de wortels van de meeste natuurlijke getallen en enkele 'bijzondere getallen' zoals 'pi' ,'i' of 'j' en 'e'.

Het getal Pi

Het getal 'pi' is gelijk aan 3,1415.., de verhouding van de lengte van de cirkelboog tot de diameter. Het is voor ons een bekend irrationeel getal, we gebruiken het bij de berekening van van de impedanties van zelfindusties en condensatoren.
Reeds in de oudheid worstelden de toenmalige geleerden met de exacte waarde van het getal pi. De Egyptische geleerde Ahmose stelde rond 1700 BC dat een cirkelvormig veld met een diameter van 9 eenheden in oppervlakte gelijk is aan een vierkant met zijden van 8 eenheden. De daaruit af te leiden waarde van pi bleek uiteindelijk minder dan 1% af te wijken van de echte waarde van pi De Griekse wiskundige Archimedes was de eerste die het probleem wiskundig aanpakte, daarom werd pi soms constante van Archimedes genoemd. Er bestaat echter nog steeds geen eenvoudige uitdrukking voor pi en dus moeten we werken met benaderingen. Deze waren vroeger handig bij de toegepaste wetenschappen. Recente benaderingen die alleen maar meer decimalen achter de komma leveren, hebben tegenwoordig alleen maar nut om nieuwe supercomputers mee te testen.

Complexe getallen en het getal 'i'

Het getal 'i' noemen we een complex getal, het behoort tot een bijzondere reeks van getallen. Het meest bekend is daarvan 'i', de 'wortel uit minus een'. In de radiotechniek wordt het 'j' genoemd om geen verwarring met het symbool i, voor stroom, te krijgen. Complexe getallen werden voor het eerst geintroduceerd toen men derdegraads vergelijkingen probeerde op te lossen. Daarin kwamen wortels uit negative getallen voor. De wortel uit -1 werd toen het 'imaginaire getal' 'i' genoemd.

Complexe getallen spelen een zeer grote rol in de radiotechniek. Hoewel het geen vereiste is voor het behalen van het zendexamen maken deze getallen het rekenen aan netwerken eenvoudiger. De wet van ohm legt het verband tussen stroom en spanning voor een weerstandsnetwerk. Voor het oplossen van zo'n probleem gebruiken we de reeks van rationele getallen. Hebben we te maken met wisselstromen en worden er ook nog zelfinducties en capaciteiten gebruikt, dan kunnen we de wet van ohm in principe niet toepassen. Want we hebben geleerd dat in zo'n geval spanning en stroom niet het zelfde gedrag in de tijd vertonen. We hebben dan te maken met verschillende soorten van impedanties. De waarde van de impedatie is 2pi maal de frequentie maal de waarde van de zelfinductie of 1 gedeeld door 2pi maal de frequentie maal de capaciteit. Daarbij hebben we geleerd dat bij zelfinducties de stroom 90 graden achterloopt bij de spanning en bij de capciteit 90 graden voorijlt op de spanning. Voor weerstanden is de impedatie gelijk aan de weerstandswaarde.

Dat achterlopen of voorijlen kunnen we wiskundig uitdrukken door het getal 'i'. Het zal duidelijk zijn dat we niet zomaar rationele en complexe getallen bij elkaar kunnen optellen. Immers in een serieschakeling van een weerstand en een zelfinductie is de totale impedantie niet gelijk aan de som van beide impedaties. We hebben daarvoor geleerd de stelling van Pythagoras te gebruiken: de lengte van de liggende zijde van de rechthoekige driehoek stelt de weerstandswaarde voor, daar loodrecht daarboven komt de impedantie van de zelfinductie of loodrecht naar onderen de impedantie van de condensator. De lengte van de schuine zijde stelt de groote van de spanning voor, de hoek tussen schuine en liggende zijde de faze verschuiving tussen spanning en stroom. Voor schakelingen die uit meerdere passieve componenten bestaan wordt zo'n berekening buitengewoon tijdrovend. De complexe rekenwijze brengt hierin een enorme verlichting en wel door gebruik te maken van een derde bijzonder getal 'e'. Een hoekverdraaiing van x radialen is te schrijven als 'e tot de macht i maal x'. Daarmee wordt het mogelijk om aan netwerken te rekenen waarbij stroom en spanning ten op zichte van elkaar een fase verschuiving hebben. Hoe dat dan in zijn werk gaat valt buiten het bestek van dit verhaal.

Het getal e

De waarde van het getal 'e' is het irrationale getal 2,71828..., dat ontstaat als antwoord van de formule (1 + 1/n) tot de macht n, waarbij n oneindig groot is. Overal duikt het getal 'e' op, in de computerwetenschap, de statistiek, de natuurkunde, de economie,. Het werd voor het eerst genoemd in 1618 door John Napier, die rekenlinealen ontwikkelde. In die tijd bestonden er alleen maar optel apparatuur. Het oplossen van wiskundige problemen, vereiste toendertijd zeer tijdrovende handmatige berekeningen. In 1683 ontdekte Jacob Bernouilli het getal 'e' toen hij zag hoe banksaldo's toenamen als er jaar na jaar rente werd bijgeschreven. Het leek alsof het getal 'e' zomaar uit de lucht was komen vallen. Pas in de 18 eeuw was het Leonard Euler, die de 4 fundamentele getallen 0,1,'pi' en 'i' via een eenvoudige vergelijking aan het getal 'e' koppelde.


De uitkomst van 'e' tot de macht 'i' maal 'pie', plus 'een, is gelijk aan 'nul'.

Het is merkwaardig hoe die 4 vreemde uiteenlopende getalen, die zo'n grote rol spelen in de natuur kunde en de techniek, via zo'n simpele formule aan elkaar zijn gekoppeld.

Pieter, pa0phb
Pieter J. T. Bruinsma, PA0PHB

Meer informatie:

. .